Question

把一张10厘米长，8厘米宽的矩形纸板四周各剪去一个相同的正方形，再折成一个无盖长方体盒子．
（1）折成的盒子侧面积有最大的情况吗？若有，请求出最大值和减去正方形边长的值；若没有请说明理由；
（2）如果把矩形纸板四周分别减去两个相同的正方形和长方形，然后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积有最大的情况？若有，请求出最大值和减去正方形边长的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）利用已知图形边长与面积之间的关系得出解析式，进一步利用性质和配方法探讨最值问题即可；
（2）分两个方向截取：当长方体的盒子顶盖在10cm方向取时，设盒子长为b；当长方体的盒子顶盖在8cm方向取时，设盒子长为b，利用长方体盒子的侧面积求得二次函数，进一步求得最值，比较得出答案即可．

解答：解：（1）设剪去正方形的边长为x厘米，折成的盒子侧面积为S，则
S=2x（10-2x）+2x（8-2x）
=-8x²+36x
=-8（x-

9

4

）²+

81

8

即折成的盒子侧面积有最大的情况，当剪去正方形边长为

9

4

厘米，侧面积最大为

81

8

平方厘米．
（2）设减去的正方形的边长为a厘米，
当长方体的盒子顶盖在10cm方向取时，设盒子长为b，
有10=2a+2b
即b=5-a
侧面积S=2a（8-2a）+2a（5-a）=26a-6a²=-6（a-

13

6

）²+

169

6

，
当a=

13

6

厘米时，S有最大值为

169

6

平方厘米；
当长方体的盒子顶盖在8cm方向取时，设盒子长为b，
有8=2a+2b
即b=4-a
侧面积S=2a（10-2a）+2a（4-a）=28a-6a²=-6（a-

7

3

）²+

98

3

，
当a=

7

3

厘米时，S有最大值为

98

3

平方厘米；
比较两个取上盖的方向，显然，在8cm方向取时，侧面积较大，
即当a=

7

3

厘米时，S有最大值为

98

3

平方厘米．

点评：此题考查二次函数的实际运用，利用长方体的侧面面积建立函数，进一步利用函数的性质解决问题，渗透分类探讨的思想．