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【题目】老师布置了这样一道作业题:

△ABC中,ABAC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BDBC∠BACα∠DBCβαβ120°,连接AD,求∠ADB的度数.

小聪提供了研究这个问题的过程和思路:先从特殊问题开始研究,当α90°β30°时(如图1),利用轴对称知识,以AB为对称轴构造ΔABD的轴对称图形ΔABD′,连接CD′(如图2),然后利用α90°β30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题.

1 2

1)请结合小聪研究问题的过程和思路,求出这种特殊情况下∠ADB的度数;

2)结合小聪研究特殊问题的启发,请解决老师布置的这道作业题.

【答案】(1)30°(2)30°或150°

【解析】

1)如图2中,作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′,由△ABD≌△ABD′,推出△D′BC是等边三角形,再证明△AD′B≌△AD′C,得∠AD′B=AD′C,由此即可解决问题.
2)第①种情况:当60°α≤120°时,如图3中,作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′,证明方法类似(1).第②种情况:当α60°时,如图4中,作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′.证明方法类似(1).

1)如图1作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′

AB=AC,∠BAC=90°

∴∠ABC=45°

∵∠DBC=30°

∴∠ABD=ABC-DBC=15°

AB=AB,∠ABD′=ABDBD′=BD

∴△ABD≌△ABD′

∴∠ABD=ABD′=15°,∠ADB=AD′B

∴∠D′BC=ABD′+ABC=60°

BD=BD′BD=BC

BD′=BC

∴△D′BC是等边三角形,

D′B=D′C,∠BD′C=60°

AB=ACAD'=AD'

∴△AD′B≌△AD′C

∴∠AD′B=AD′C

∴∠AD′B=BD′C=30°

∴∠ADB=30°.

2)解:第①种情况:当60°α≤120°时,

如图2,作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′

AB=AC,∴∠ABC=ACB

∵∠BAC=α

∴∠ABC=

∴∠ABD=ABC-DBC=

同(1)可证△ABD≌△ABD′

∴∠ABD=ABD′=BD=BD′,∠ADB=AD′B

∴∠D′BC=ABD′+ABC==180°-α+β),

α+β=120°

∴∠D′BC=60°

以下同(1)可求得∠ADB=30°

第②种情况:当α60°时,

如图3,作∠ABD′=ABDBD′=BD,连接CD′AD′

同理可得:∠ABC=

∴∠ABD=DBC-ABC=β(90°)

同(1)可证△ABD≌△ABD′

∴∠ABD=ABD′=β(90°)BD=BD′,∠ADB=AD′B

∴∠D′BC=ABC-ABD′=90°-[β(90°)]180°(α+β)

D′B=D′C,∠BD′C=60°

同(1)可证△AD′B≌△AD′C

∴∠AD′B=AD′C

∵∠AD′B+AD′C+BD′C=360°

∴∠ADB=AD′B=150°

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第3列

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第1行

-2

4

-8

a

-32

64

第2行

0

6

-6

18

-30

66

第3行

-1

2

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8

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b

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频数

频率

80≤x<85

9

0.15

85≤x<90

m

0.45

90≤x<95

95≤x<100

6

n

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