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【题目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0<x≤3),解答下列问题:

(1)设△QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S;当x为何值时,S有最大值?并求出最小值;

(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?试说明理由.

【答案】(1)S= S不存在最大值,当x=2时,S有最小值,最小值为4;(2)当x=QP⊥DP.

【解析】

试题分析:(1)可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,从而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面积,则可表示出S,再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值,并能求得其最小值;

(2)用x表示出BQ、BP、PC,当QP⊥DP时,可证明△BPQ∽△CDP,利用相似三角形的性质可得到关于x的方程,可求得x的值.

试题解析:

(1)∵四边形ABCD为矩形,∴BC=AD=4,CD=AB=3,当运动x秒时,则AQ=x,BP=x,∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x,CP=BC﹣BP=4﹣x,∴S△ADQ=ADAQ=×4x=2x,S△BPQ=BQBP=(3﹣x)x=,S△PCD=PCCD=(4﹣x)3=,又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12,∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣()﹣()==,即S=,∴S为开口向上的二次函数,且对称轴为x=2,∴当0<x<2时,S随x的增大而减小,当2<x≤3时,S随x的增大而增大,又当x=0时,S=5,当S=3时,S=,但x的范围内取不到x=0,∴S不存在最大值,当x=2时,S有最小值,最小值为4;

(2)存在,理由如下:

由(1)可知BQ=3﹣x,BP=x,CP=4﹣x,当QP⊥DP时,则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC,∴∠BPQ=∠PDC,且∠B=∠C,∴△BPQ∽△PCD,∴,即,解得x=(舍去)或x=,∴当x=QP⊥DP.

练习册系列答案
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【题目】如图,已知∠A=180°﹣∠ABC,BD⊥CD于D,EF⊥CD于F.

(1)求证:AD∥BC;
(2)若∠1=42°,求∠2的度数.

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【题目】如图所示,三角形ABC(记作△ABC)在方格中,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,三个顶点的坐标分别是A(﹣2,1),B(﹣3,﹣2),C(1,﹣2),先将△ABC向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到A1B1C1

(1)在图中画出△A1B1C1
(2)点A1 , B1 , C1的坐标分别为
(3)若y轴有一点P,使△PBC与△ABC面积相等,求出P点的坐标.

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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.

(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.

(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

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【题目】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M﹣N,若M﹣N>0,则M>N;若M﹣N=0,则M=N;若M﹣N<0,则M<N.

(1)如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个长方形,试比较来两个小正方形面积之和M与两个长方形面积之和N的大小.
(2)如图2,图3,△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BC=2x﹣y,长方形EFGH中,长EH=2x﹣ y,宽EF=y,△ABC与长方形EFGH的面积分别为M、N,试比较M、N的大小,其中y>0,x> y且x≠y.

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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.

(1)若∠1=∠2,求∠NOD.
(2)若∠1= ∠BOC,求∠AOC与∠MOD.

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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )

A.6
B.8
C.10
D.12

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【题目】在平整的地面上,有若干个完全相同的棱长的小正方体堆成一个几何体(如图所示).

(1)这个几何体由个小正方体组成,请画出这个几何体的三视图;
(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆,则在所有的小正方体中,有个正方体只有两个面是黄色,有个正方体只有三个面是黄色(注:该几何体与地面重合的部分不喷漆).

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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O,OF平分∠AOE,OF⊥CD,垂足为O.

(1)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数;
(2)写出图中所有与∠AOD互补的角:

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