【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠ACB=96°或114°;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.
(2)分三种情形讨论即可①如图2,当AD=CD时,②如图3中,当AD=AC时,③如图4中,当AC=CD时,分别求出∠ACB即可.
(3)设BD=x,利用△BCD∽△BAC,得,列出方程即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.
(2)①当AD=CD时,如图2,∠ACD=∠A=45°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②当AD=AC时,如图3中,∠ACD=∠ADC=(180°-48°)÷2=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③当AC=CD时,如图4中,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍弃,∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴设BD=x,∴),∵x>0,∴x=,∵△BCD∽△BAC,∴=,∴CD=×2=.
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【题目】如图是一个被抹去x轴、y轴及原点O的网格图,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的各顶点都在网格的格点上,若记点A的坐标为(﹣1,3),点C的坐标为(1,﹣1).
(1)请在图中找出x轴、y轴及原点O的位置;
(2)把△ABC向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,请你画出平移后的△A1B1C1 , 若△ABC内部一点P的坐标为(a,b),则点P的对应点P1的坐标是;
(3)试求出△ABC的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是 .
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【题目】如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C
B.AD=CB
C.BE=DF
D.AD∥BC
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【题目】已知二次函数的图象经过点(0,3),顶点坐标为(1,4).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若将该抛物线绕原点旋转180°,请直接写出旋转后的抛物线函数表达式。
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【题目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0<x≤3),解答下列问题:
(1)设△QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S;当x为何值时,S有最大值?并求出最小值;
(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?试说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是 ;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
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【题目】如图,一副三角板的两个直角顶点重合在一起.
(1)若∠EON=140°,求∠MOF的度数;
(2)比较∠EOM与∠FON的大小,并写出理由;
(3)求∠EON+∠MOF的度数.
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