Question

10．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x²-3x=1．求：${x^2}+\frac{1}{x^2}$的值．
解：∵x²-3x=1，∴x²-3x-1=0
∴$x-3-\frac{1}{x}=0$，即$x-\frac{1}{x}=3$．
∴${x^2}+\frac{1}{x^2}$=${（{x-\frac{1}{x}}）^2}+2$=3²+2=11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1-2a）-（3-2a）²+9a²=14a-7，
求：（1）${a^2}+\frac{1}{a^2}$的值；（2）$\frac{a^2}{{5{a^4}+{a^2}+5}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得$a-\frac{1}{a}=2$，再利用完全平方公式计算即可；
（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．

解答 解：（1）（2a+1）（1-2a）-（3-2a）²+9a²=14a-71-4a²-（9-12a+4a²）+9a²-14a+7=0，
整理得：a²-2a-1=0
∴$a-\frac{1}{a}=2$，
∴${a^2}+\frac{1}{a^2}={（{a-\frac{1}{a}}）^2}+2=4+2=6$；
（2）解：$\frac{a^2}{{5{a^4}+{a^2}+5}}$的倒数为$\frac{{5{a^4}+{a^2}+5}}{a^2}$，
∵$\frac{{5{a^4}+{a^2}+5}}{a^2}=5{a^2}+\frac{5}{a^2}+1=5（{{a^2}+\frac{1}{a^2}}）+1=5×6+1=31$，
∴$\frac{a^2}{{5{a^4}+{a^2}+5}}=\frac{1}{31}$．

点评 此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行变形解答．