Question

如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O直径，AD是高．求证：
（1）∠BAE=∠DAC；
（2）AE•AD=AB•AC．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接BE，则可知∠BAE+∠E=∠CAC+∠C，且∠E=∠C，可得结论；
（2）结合（1）的结论可证明△ABE∽△ADC，可得

AE

AC

=

AB

AD

，则有AE•AD=AB•AC．

解答：证明：（1）连接BE，如图，
∵A为直径，AD是高
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠E=∠DAC+∠C，
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角），
∴∠BAE=∠DAC；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAC，且∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴

AE

AC

=

AB

AD

，
则有AE•AD=AB•AC．

点评：本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，在复杂图形中能找到同弧所对的圆周角是解题的关键．