Question

7．在正方形ABCD中，AB=8，M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值与最大值．

Answer 1

分析 要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解；当点N位于点A处是DN+MN有最大值．

解答 解：如图1，连接BM．

∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴DN+MN的最小值是10．
如图2所示，当点N与点A重合时，DN+MN有最大值．

在Rt△NDM中，NM=$\sqrt{N{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
∴ND+NM=8+2$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查的是勾股定理的应用、轴对称路径最短问题，掌握DN+MN有最大值和最小值的条件是解题的关键．