Question

13．如图，在边长为2$\sqrt{3}$的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得AB=AD=BC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC，得到∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=$\sqrt{3}$，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2$\sqrt{3}$，可推出∠BEF=∠EBF，证得BF=EF，设CF=x，则BF=2$\sqrt{3}$+x，A′F=$\sqrt{3}$+x，在Rt△A′BF中，由勾股定理得：（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{3}$+x）²=（2$\sqrt{3}$+x）²，解此方程即可求得结论．

解答 解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=2$\sqrt{3}$，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵E为AD边的中点，
∴AE=$\sqrt{3}$，
由折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=$\sqrt{3}$，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
设CF=x，则BF=2$\sqrt{3}$+x，A′F=$\sqrt{3}$+x，
在Rt△A′BF中，（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{3}$+x）²=（2$\sqrt{3}$+x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质和勾股定理．