Question

1．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{3}$，BC=3，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，如图2．
（1）在如图1中画出折痕所在的直线l，设直线l与AB，AC分别相交于点D，E，连接CD（要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
（2）求证：△CDB是等边三角形；
（3）请你计算四边形EDBC的周长．

Answer 1

分析 （1）直线l是线段AC的垂直平分线，利用尺规即可作图；
（2）利用勾股定理求得BC的长，然后利用等角对等边证明CD=BD，求得CD的长度，根据等边三角形的定义证明；
（3）首先根据E是AC的中点求得CE的长，在直角△CDE中利用勾股定理求得DE的长，则四边形的周长即可求得．

解答 解：（1）如图所示：
；
（2）∵∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{3}$，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=6，
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DAC+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∠B=∠BCD，CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
CD=BD=BC．
（3）∵DE是AC的垂直平分线
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵CD=3，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
四边形EDBC的周长=DE+EC+BC+DB=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+3+3=$\frac{15+3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，正确理解DE是垂直平分线是关键．