Question

18．若关于x的一元二次方程4x²+4（a-1）x+a²-a-2=0没有实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）化简：$\sqrt{9-6a+{a}^{2}}$-$\sqrt{{a}^{2}+12a+36}$．

Answer 1

分析 （1）由于一元二次方程没有实数根，所以有△＜0，即△=16（a-1）²-4×4（a²-a-2）＜0，解得a＞3．
（2）原式=$\sqrt{（3-a）^{2}}-\sqrt{（a+6）^{2}}$=|3-a|-|a+6|，根据a＞3去绝对值合并即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程4x²+4（a-1）x+a²-a-2=0没有实数根，
∴△=16（a-1）²-4×4（a²-a-2）＜0，
即-16a+48＜0，
解得a＞3；
（2）∵原式=$\sqrt{9-6a+{a}^{2}}$-$\sqrt{{a}^{2}+12a+36}$=$\sqrt{（3-a）^{2}}-\sqrt{（a+6）^{2}}$=|3-a|-|a+6|，
=|3-a|-|a+6|，
=a-3-（a+6），
=-9．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了二次根式的性质：$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|．