Question

5．某商店购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么每星期可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．设销售单价为x（元）（x＞40）时，该商品每星期获得的利润y（元）．
（1）求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）求出销售单价为多少元时，每星期获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据“实际销量=原计划销量-因价格提高减少的销量”表示出销售量，再根据：每周利润=每件利润×实际销售量可列出函数关系式；由销售量≥0确定x的取值范围；
（2）将（1）中函数关系式配方成顶点式，依据顶点式可得其最大值．

解答 解：（1）根据题意，当销售单价定为x元时，其每周销售量为：400-20（x-40），
则该商品每星期获得的利润y=（x-30）[400-20（x-40）]=-20x²+1800x-36000，
即y=-20x²+1800x-36000，
∵其每周销售量400-20（x-40）≥0且x＞40，
∴40＜x≤60；
（2）由（1）知y=-20x²+1800x-36000，
配方得：y=-20（x-45）²+4500，
∵-20＜0，且40＜45＜60，
∴当x=45时，y_最大值=4500，
答：销售单价为45元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4500元．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，将实际问题根据相等关系建立二次函数关系是关键．