Question

15．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠ACB=90°．若AF=4，CF=1．则BD的长是$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设BD=x，由切线长定理可得BE=BD=x，AD=AF=4，CE=CF=1，因为△ACB是直角三角形，所以可根据勾股定理建立关于x的方程，解方程即可．

解答 解：
设BD=x，
∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴得BE=BD=x，AD=AF=4，CE=CF=1，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即5²+（x+1）²=（4+x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．同时也考查了切线长定理以及勾股定理的运用．