Question

如图，△ABC和△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点P、M、N分别为DE、BE、AD的中点．求证：MN=

2

MP．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接CP，NP，易证CN=EM，易证CP=EP=PD，∠E=∠D=∠PCD=45°，即可证明△EPM≌△PCN，可得PM=PN，∠EPM=∠CPN，根据∠EPM+∠MPC=90°，可证明∠MPN=90°，即可解题．

解答：证明：连接CP，NP，

设AC=BC=a，EM=BM=b，则CE=2b+a=CD，AD=2b+2a，
∵N为AD中点，∴AN=a+b，
∵AC=a，∴CN=EM=a，
∵CP为等腰直角三角形ECD的中线，
∴CP=EP=PD，∠E=∠D=∠PCD=45°，
在△EPM和△PCN中，

PE=PC ∠PCN=∠PEM EM=CN

，
∴△EPM≌△PCN，（SAS）
∴PM=PN，∠EPM=∠CPN，
∵∠EPM+∠MPC=90°，
∴∠CPN+∠MPC=90°，即∠MPN=90°，
∴MN²=MP²+NP²，
∴MN=

2

MP．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△EPM≌△PCN是解题的关键．