Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论：①△AED≌△DFB；
②S_{四边形BCDG}=

3

4

CG²；③若AF=2FD，则BG=6GF，其中正确的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}，易求后者的面积．
③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．

解答：解：①∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中，

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS），故本小题正确；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
如图1，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN．∠CMB=∠CND=90°
在Rt△CND和Rt△CMB中，

CB=CD CM=CN

，
△CBM≌△CDN，（HL）
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．
S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×CG×

3

2

CG=

3

4

CG²，故本小题正确；
③如图2，过点F作FP∥AE于P点．                  
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，故本小题正确．
综上所述，正确的结论有①②③．
故选D

点评：本题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．