Question

如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）已知∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BPC的度数；
（2）若∠ABC+∠ACB=110°，求∠BPC的度数；
（3）若∠A=70°，求∠BPC的度数．变式∠A=n°，求∠BPC的度数．思考，你能找出∠A和∠BPC的大小关系吗？

Answer 1

考点：三角形内角和定理

专题：

分析：先根据角平分线的定义得到∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+

1

2

∠A，然后根据此结论解决各小题．

解答：解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∴∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BPC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°-50°-60°=70°，
∴∠BPC=90°+

1

2

×70°=125°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∴∠BPC=90°+

1

2

×70°=125°；
（3）∵∠A=70°，
∴∠BPC=90°+

1

2

×70°=125°；
当∠A=n°，∠BPC=90°+

1

2

n；
∠BOC与∠A的数量关系为∠BPC=90°+

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．