Question

3．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB=8km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（本题结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）首先过点B作BD⊥AC于点D，由在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，可求得BD的长，然后由在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，求得BC的长；
（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，继而求得AD，CD与AC的长，然后在Rt△CAE中，求得答案．

解答 解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，
∴$sin{45°}=\frac{BD}{8}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴BD=$4\sqrt{2}$，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，
∴$sin{30°}=\frac{{4\sqrt{2}}}{BC}=\frac{1}{2}$．
∴BC=$8\sqrt{2}$km；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．
在（1）中可求出AD=$4\sqrt{2}$，CD=$4\sqrt{6}$，则AC=$4\sqrt{2}$+$4\sqrt{6}$，
在Rt△CAE中，sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴代入求出CE=（4+$4\sqrt{3}$）km．

点评 此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．