Question

如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）连结AP，当AP//CE时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

图1                           备用图

Answer 1

（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，

∴BH=AB cosB=4，
∴AH=3，CH=4，············1分
∴AC===5，
∴此时CP=r=5；···············2分

（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，···········3分
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM=CM= ，·········4分
由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE= ，··········5分
∴EF=2  ···········6分

（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，过点A作AQ⊥BC于点Q，

∵cosB=  

∴∠B＜45°，············7分
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，············8分
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，············10分
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴  ··············11分

即······················12分

解得，AE=3，EN=AN-AE=1

∴CE=················13分