Question

3．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与正方形OABC的边AB、BC分别交于点D、E．若正方形OABC的边长为1，△ODE是等边三角形，则k的值为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质和反比例函数系数k的几何意义得出OA=OC=1，AD=CE，设E（m，1），则D（1，m），根据勾股定理得出1²+m²=2（1-m）²，从而求得E的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k．

解答 解：∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，
∵D、E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴根据系数k的几何意义，则AD=CE，
设E（m，1），则D（1，m），
∴CE=AD=m，BE=BD=1-m，
∵OE²=CE²+OC²，DE²=BE²+BD²，△ODE是等边三角形，
∴1²+m²=2（1-m）²，
解得，m₁=2-$\sqrt{3}$，m₂=2+$\sqrt{3}$（舍去），
∴E（2-$\sqrt{3}$，1），
代入y=$\frac{k}{x}$（k＞0）求得，k=2-$\sqrt{3}$．
故答案为2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．