Question

15．如图1，已知△ABC中，AB=AC，现在△ABC外作∠ACP=∠ACB，在BC上取一点D，在CP上取一点E，使BD=CE，并连接AD，AE．
（1）求证：AD=AE；
（2）若∠BCP=144°，求∠DAE的度数；
（3）如图2，若AD⊥BC，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．试判断四边形CDFE的形状，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，由全等三角形的判定定理SAS证得结论．
（2）由△ABD≌△ACE，得到∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即可求得∠DAE=∠BAC=36°．
（3）由（1）知，△ABD≌△ACE，又证得△ADF≌△AEF，得到对应边相等，对应角相等，进一步证得CD=CE=EF=DF，得到四边形CDFE为菱形．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠ACP=∠ACB，
∴∠B=∠ACP，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠B=∠ACE\\ BD=CE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE；

（2）∵∠B=∠ACB=∠ACP，∠BCP=144°，
∴∠B=∠ACB=∠ACP=72°，
∴∠BAC=36°，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠DAE=∠BAC=36°．

（3）四边形CDFE为菱形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠1=∠2，
又∵BD=CE，
∴CE=CD，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
在△ADF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠2=∠3}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AEF，
∴DF=EF，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠DCF，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF，
∴CD=CE=EF=DF，
∴四边形CDFE为菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定和性质，菱形的判定定理，找全等三角形是解题的关键．