Question

12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为（-5，-2），C为BD的中点．
（1）求出k的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）利用函数图象求关于x的不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）先由点B的坐标求出反比例函数的系数k；
（2）由C为BD的中点．求出点D的坐标，把点B，点D的坐标代入一次函数关系式求出a，b即可求一次函数的关系式．
（3）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值．

解答 解：（1）点B（-5，-2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=10，

（2）作BE⊥x轴于E，则BE∥OD，
∴$\frac{BE}{OD}$=$\frac{BC}{CD}$，
∵C为BD的中点．
∴$\frac{BE}{OD}$=$\frac{BC}{CD}$=1，
∴OD=BE=2，
∴D（0，2），
∵B、D两点在直线y=ax+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5a+b=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的关系式为y=$\frac{4}{5}$x+2．

（3）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{5}x+2}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{5}{2}}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{5}{2}$，4），
由图象可知：当-5＜x＜0或x＞$\frac{5}{2}$时，一次函数的值小于反比例函数的值，
所以不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集为-5＜x＜0或x＞$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．