Question

1．△ABC和△BCD都是直角三角形，其中∠ACB=∠D=90°，AC=3，BC=4．若两个直角三角形相似，则BD的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB=5，再分类讨论：当△ABC∽△BCD时，则$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$；当△ABC∽△CBD时，则$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，然后利用比例性质分别计算出BD的长．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4．
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
当△ABC∽△BCD时，$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{3}{BD}$=$\frac{5}{4}$，解得BD=$\frac{12}{5}$；
当△ABC∽△CBD时，$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{4}{BD}$=$\frac{5}{4}$，解得BD=$\frac{16}{5}$，
即BD的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$．
故答案为$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．注意分类讨论思想的运用．