Question

10．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与 对角线AC交于Q点
（Ⅰ）若点P的坐标为（1，$\frac{1}{4}$），求点M的坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，由三角形中位线定理可求得ME和OE，可求得M点坐标；
（Ⅱ）①同（Ⅰ）容易求得M坐标；②由条件可分别求得直线l和AC的方程，利用图象的交点，可求得Q坐标；
（Ⅲ）可分别用t表示出OQ和OP的长，可证明△OPQ为直角三角形，且OQ=OP，可得到∠QOP=45°．

解答 解：
（Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，如图1，

由题意可知M为OP中点，
∴E为OA中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{8}$，
∴M点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{8}$）；
（Ⅱ）①同（Ⅰ），当P（1，t）时，可得M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$t）；
②过Q点作QD⊥OA于D，作QE⊥AB与E，连接QP．
∵Q点在AC上，
∴QD=AD=AE=QE，
在Rt△OQD和Rt△OPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{QO=QP}\\{QD=QE}\end{array}\right.$
∴Rt△OQD≌Rt△OPE，
∴OD=PE，
设OD=PE=x，则AD=1-x，AE=t+x，则1-x=t+x，解得x=$\frac{1-t}{2}$，
QD=AE=t+x=$\frac{1+t}{2}$．
∴Q点坐标为（$\frac{1-t}{2}$，$\frac{1+t}{2}$）．
（Ⅲ）不变化，∠QOP=45°．
理由如下：由（Ⅱ）②可知Q点坐标为（$\frac{1-t}{2}$，$\frac{1+t}{2}$），
根据勾股定理得，
OQ²=OD²+QD²=（$\frac{1-t}{2}$）²+（$\frac{1+t}{2}$）²=$\frac{1+{t}^{2}}{2}$，
QP=OQ，
OP²=OA²+AP²=1+t²，
∴OQ²+QP²=OP²，
∴△OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形，
∴∠QOP=45°，
即∠QOP不变化．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法求函数解析式、三角形中位线定理、直角三角形的判定等知识点．在（Ⅰ）中利用M为OP的中点是解题的关键，在（Ⅱ）②能找出全等是解题关键，在（Ⅲ）中，注意利用（Ⅱ）的结论，求得OQ和OP的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量大，有一定的难度．