Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE，与AC相交于点F．
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）若∠B=30°，判断并证明四边形ADCE的形状．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质和等边三角形的性质得到AE=EC，AD=CD，由全等三角形的判定定理SSS即可证得．
（2）根据菱形的判定定理四条边相等的四边形是菱形证得．

解答 解：（1）∵E是AB中点，∠ACB=90°
∴AE=EC，
∵AD=CD，
在△ADE与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{AE=CE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE；

（2）∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=AC，
∵AC=AD=CD，
∴AD=DC=CE=EA，
∴四边形ADCE是菱形．

点评 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．