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【题目】如图,直线轴、轴分别交于两点,抛物线经过两点,与轴的另一个交点为,连接

(1)求抛物线的解析式及点的坐标;

(2) 在抛物线上,连接 ,当 时,求点的坐标;

(3)从点出发,沿线段运动,同时点从点出发,沿线段运动, 的运动速度都是每秒个单位长度,当点到达点时,同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点,使运动过程中的某一时刻,以为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

(1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式,进而求出点C的坐标;
(2)满足条件的点M有两种情形,需要分类讨论:
①当BMBC时,如答图2-1所示;
②当BMBC关于y轴对称时,如答图2-2所示.
(3)CPQ的三边均可能成为菱形的对角线,以此为基础进行分类讨论:
①若以CQ为菱形对角线,如答图3-1.此时BQ=t,菱形边长=t;
②若以PQ为菱形对角线,如答图3-2.此时BQ=t,菱形边长=t;
③若以CP为菱形对角线,如答图3-3.此时BQ=t,菱形边长=5-t.

解:直线解析式

,得

,得

∵点在抛物线上,

解得

∴抛物线解析式为:

解得:

①当时,如答图所示.

,故点满足条件.

过点轴于点,则

∴直线的解析式为:

联立

得:

解得:

②当关于轴对称时,如答图所示.

故点满足条件.

过点轴于点

∴直线的解析式为:

联立得:

解得:

综上所述,满足条件的点的坐标为:

,则

假设存在满足条件的点,设菱形的对角线交于点,设运动时间为

①若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长

中,

解得

过点轴于点

∵点与点横坐标相差个单位,

②若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长

,点中点,

∵点与点横坐标相差个单位,

③若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长

中,

解得

综上所述,存在满足条件的点,点坐标为:

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