【题目】如图,直线与轴、轴分别交于、两点,抛物线经过、两点,与轴的另一个交点为,连接.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)点 在抛物线上,连接 ,当 时,求点的坐标;
(3)点从点出发,沿线段由向运动,同时点从点出发,沿线段由向运动, 、的运动速度都是每秒个单位长度,当点到达点时,、同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点,使、运动过程中的某一时刻,以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2),或(3)或或
【解析】
(1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式,进而求出点C的坐标;
(2)满足条件的点M有两种情形,需要分类讨论:
①当BM⊥BC时,如答图2-1所示;
②当BM与BC关于y轴对称时,如答图2-2所示.
(3)△CPQ的三边均可能成为菱形的对角线,以此为基础进行分类讨论:
①若以CQ为菱形对角线,如答图3-1.此时BQ=t,菱形边长=t;
②若以PQ为菱形对角线,如答图3-2.此时BQ=t,菱形边长=t;
③若以CP为菱形对角线,如答图3-3.此时BQ=t,菱形边长=5-t.
解:直线解析式,
令,得;
令,得.
∴、.
∵点、在抛物线上,
∴,
解得,
∴抛物线解析式为:.
令,
解得:或,
∴.,
设,
①当时,如答图所示.
∵,
∴,故点满足条件.
过点作轴于点,则,,
∴.
∵,
∴,
∴直线的解析式为:.
联立与,
得:,
解得:,,
∴,,
∴;
②当与关于轴对称时,如答图所示.
∵,,
∴,
故点满足条件.
过点作轴于点,
则,,
∴.
∵,
∴,
∴直线的解析式为:.
联立与得:,
解得:,,
∴,,
∴.
综上所述,满足条件的点的坐标为:或.
设,则,,.
假设存在满足条件的点,设菱形的对角线交于点,设运动时间为.
①若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长.
∴.
在中,,
解得.
∴.
过点作轴于点,
则,,
∴.
∴.
∵点与点横坐标相差个单位,
∴;
②若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长.
∵,
∴,点为中点,
∴.
∵点与点横坐标相差个单位,
∴;
③若以为菱形对角线,如答图.此时,菱形边长.
在中,,
解得.
∴,.
∴.
综上所述,存在满足条件的点,点坐标为:或或.
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【题目】如图,已知.
(1)用直尺和圆规作射线平分;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:角平分线上的点到角两边的距离相等. (要求:在第(1)小题作图的基础上,画出证明所需的图形,写出已知、求证和证明过程)
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【题目】如图所示的网格中,△ABC的顶点A的坐标为(1,1)
⑴建立平面直角坐标系,画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;并分别写出点B1的坐标是 、点C1的坐标是
⑵①借助图中的网格,请只用直尺(无刻度)在图中找一点P,使得P到AB、AC的距离相等,且使PA=PB.
②若动点Q在y轴上,使得△QAC的周长最小,则△QAC的最小周长= .(友情提醒:别忘标注宇母)
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【题目】已知一次函数y=2x+b.
(1)它的图像与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b的值;
(2)它的图像经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图像的交点,求b的值.
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【题目】如图,在△ACD和△BCE中, AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD与BE相交于点P,则∠BPD的度数为( )
A.110°B.125°C.130°D.155°
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与y轴相交于点C(0,6),与直线OA相交于点A且点A的纵坐标为2, 动点P沿路线运动.
(1)求直线BC的解析式;
(2)在y轴上找一点M,使得△MAB的周长最小,则点M的坐标为______;(请直接写出结果)
(3)当△OPC的面积是△OAC的面积的时,求出这时P的坐标.
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【题目】快、慢两车分别从相距360km的佳市、哈市两地出发,匀速行驶,先相向而行,慢车在快车出发1h后出发,到达佳市后停止行驶,快车到达哈市后,立即按原路原速返回佳市(快车调头的时间忽略不计),快、慢两车距哈市的路程y1(单位:km),y2(单位:km)与快车出发时间x(单位:h)之间的函数图象如图所示,请结合图象信息解答下列问题:
(1)直接写出慢车的行驶速度和a的值;
(2)快车与慢车第一次相遇时,距离佳市的路程是多少千米?
(3)快车出发多少小时后两车相距为100km?请直接写出答案.
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