Question

如图，正方形OCAB的顶点A、C分别在y轴、x轴上，正方形的边长为4，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过A、B两点．下列说法中正确的个数有（　　）个
①abc＞0；②4a+b=0；③a＞-

4

5

；④方程ax²+bx+c=4的解为x₁=0，x₂=4；⑤（4a+2b）-（am²+bm）＜0（m≠2）．

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=2得b=-4a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＜0；由b=-4a所以4a+b=0；由图象可知x₁＜-1，x₂＞5，得到x₁•x₂=

c

a

＜-5，由于c=4，所以a＞-

4

5

；由于c=4，方程ax²+bx+c=4变为ax²+bx=0，所以方程的解为x₁=0，x₂=-

b

a

，由b=-4a，可得x₁=0，x₂=4，抛物线的对称轴为直线x=2，所以当x=2时，y有最大值，所以am²+bm+c＜4a+2b+c（m≠2），整理得（4a+2b）-（am²+bm）＞0（m≠2）．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=2＞0，
∴b=-4a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0，所以②正确；
∵由图象可知x₁＜-1，x₂＞5，
∴x₁•x₂=

c

a

＜-5，
∵c=4，
∴

4

a

＜-5，
∵a＜0，
∴a＞-

4

5

所以③正确；
∵c=4，
∴方程ax²+bx+c=4变为ax²+bx=0，
∴x₁=0，x₂=-

b

a

=-

-4a

a

=4，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y有最大值，
∴am²+bm+c＜4a+2b+c（m≠2），
∴am²+bm＜4a+2b（m≠2），
∴（4a+2b）-（am²+bm）＞0（m≠2）所以⑤错误；
故选B．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．