【题目】如图,AB是⊙O直径,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP中点,延长CO交⊙O于点D,连接AD,过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E,连CE.
(1)求证:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①当∠DAP= 时,四边形DEPC为正方形;
②在点P运动过程中,若⊙O半径为5,tan∠DCE=,则AD= .
【答案】(1)详见解析;(2)①∠DAP=45°;②AD=4.
【解析】
试题分析:(1)先由切线的性质得到∠CDE=90°,再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP,接着根据圆周角定理得到∠APB=90°,于是可判断四边形DEPC为矩形,所以DC=EP,然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP;(2)①利用四边形DEPC为矩形得到DE=PC=AC,则根据正方形的判定方法得DC=CP时,四边形DEPC为正方形,则DC=CP=AC,于是得到此时△ACD为等腰直角三角形,所以∠DAP=45°;②先证明∠ADC=∠DCE,再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC==,则设AC=x,DC=2x,利用勾股定理得到AD=x,然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x2+(2x﹣5)2=52,再解方程求出x即可得到AD的长.
试题解析:(1)证明:∵DE为切线,
∴OD⊥DE,
∴∠CDE=90°,
∵点C为AP的中点,
∴DC⊥AP,
∴∠DCA=∠DCP=90°,
∵AB是⊙O直径,
∴∠APB=90°,
∴四边形DEPC为矩形,
∴DC=EP,
在△DAC和△ECP中
,
∴△DAC≌△ECP;
(2)解:①∵四边形DEPC为矩形,
∵DE=PC=AC,
∵当DC=CP时,四边形DEPC为正方形,
此时DC=CP=AC,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴∠DAP=45°;
②∵DE=AC,DE∥AC,
∴四边形ACED为平行四边形,
∴AD∥CE,
∴∠ADC=∠DCE,
在Rt△ACD中,tan∠ADC==tan∠DCE=,
设AC=x,则DC=2x,
∴AD==x,
在Rt△AOC中,AO=5,OC=CD﹣OD=2x﹣5,
∴x2+(2x﹣5)2=52,解得x1=0(舍去),x2=4,
∴AD=4.
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【题目】正整数按照如图规律排列,请问
①18这个数排在第 排,第 个位置,100 这个数排在第 排,第 个位置。
②7这个数在第4排第1个,可以记作(4,1),则50这个数可以记作( ),那么一个数可以记作(10,3),则这个数为 。
③请问第n排的最后一个数字是 ,第n排的第二个数字是 (请用含n的式子表示).
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【题目】 “囧”(jiong)是近时期网络流行语,像一个人脸郁闷的神情.如图所示,一张边长为20的正方形的纸片,剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分).设剪去的小长方形长和宽分别为x、y,剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y.
(1)用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积;
(2)当时,求此时“囧”的面积.
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【题目】最小的开花结果植物的果实质量只有0.000000076克,该数字用科学记数法表示为( )
A.7.6×109B.76×10﹣9C.7.6×10﹣9D.7.6×10﹣8
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【题目】体育老师测试了一组学生的立定跳远成绩,记录如下(单位:m):2.00,2.11,2.35,2.15,2.20,2.17,那么这组数据的中位数是( )
A.2.15B.2.16C.2.17D.2.20
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【题目】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,则在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.
所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离.借助于数轴回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 , 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 .
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 .
③数轴上表示x的点到表示1的点的距离与它到表示﹣3的点的距离之和可表示为:|x﹣1|+|x+3|.则|x﹣1|+|x+3|的最小值是 .
④若|x﹣3|+|x+1|=8,则x=
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AD向点D匀速运动,速度是1cm/s,过点P作PE∥AC交DC于点E,同时,点Q从点C出发沿CB方向,在射线CB上匀速运动,速度是2cm/s,连接PQ、QE,PQ与AC交与点F,设运动时间为t(s)(0<t<8).
(1)当t为何值时,四边形PFCE是平行四边形;
(2)设△PQE的面积为s(cm2),求s与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的;
(4)是否存在某一时刻t,使得点E在线段PQ的垂直平分线上.
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