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【题目】如图,AB是O直径,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP中点,延长CO交O于点D,连接AD,过点D作O的切线交PB的廷长线于点E,连CE.

(1)求证:DAC≌△ECP;

(2)填空:

①当DAP= 时,四边形DEPC为正方形;

②在点P运动过程中,若O半径为5,tanDCE=,则AD=

【答案】(1)详见解析;(2)①∠DAP=45°;②AD=4

【解析】

试题分析:(1)先由切线的性质得到CDE=90°,再利用垂径定理的推理得到DCAP,接着根据圆周角定理得到APB=90°,于是可判断四边形DEPC为矩形,所以DC=EP,然后根据“SAS”判断DAC≌△ECP;(2)①利用四边形DEPC为矩形得到DE=PC=AC,则根据正方形的判定方法得DC=CP时,四边形DEPC为正方形,则DC=CP=AC,于是得到此时ACD为等腰直角三角形,所以DAP=45°;②先证明ADC=DCE,再在RtACD中利用正切得到tanADC==,则设AC=x,DC=2x,利用勾股定理得到AD=x,然后在RtAOC中利用勾股定理得到x2+(2x﹣5)2=52,再解方程求出x即可得到AD的长.

试题解析:(1)证明:DE为切线,

ODDE,

∴∠CDE=90°,

点C为AP的中点,

DCAP,

∴∠DCA=DCP=90°,

AB是O直径,

∴∠APB=90°,

四边形DEPC为矩形,

DC=EP,

DAC和ECP中

∴△DAC≌△ECP;

(2)解:①四边形DEPC为矩形,

DE=PC=AC,

当DC=CP时,四边形DEPC为正方形,

此时DC=CP=AC,

∴△ACD为等腰直角三角形,

∴∠DAP=45°;

DE=AC,DEAC,

四边形ACED为平行四边形,

ADCE,

∴∠ADC=DCE,

在RtACD中,tanADC==tanDCE=

设AC=x,则DC=2x,

AD==x,

在RtAOC中,AO=5,OC=CD﹣OD=2x﹣5,

x2+(2x﹣5)2=52,解得x1=0(舍去),x2=4,

AD=4

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