Question

【题目】如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与 AB的垂直平分线DE相交于点E.

（1）如图2，若点E正好落在边BC上.

①求∠B的度数

②证明：BC=3DE

（2）如图3，若点E满足C、E、D共线.

求证：AD+DE=BC.

Answer 1

【答案】（1）①30°，②见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)由∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与 AB的垂直平分线DE相交于点E，可直接求出∠B的度数.先证明 BE=2DE，易得BC=3DE

(2) 过点E作EF⊥AC于点F，先证明△ABC是等腰直角三角形△CEF是等腰直角三角形，再证明△ADE≌△AFE（HL）即可.

（1）①∵AE平分∠CAB

∴∠CAE=∠DAE

又∵ED是AB的垂直平分线

∴EA=EB

∴∠B=∠DAE

∴∠CAE=∠DAE=∠B

又∵∠C=90°

∴∠B=×90°=30°

②∵AE平分∠CAB，且EC⊥AC，ED⊥AB

∴EC=ED

在Rt△EDB中，∠B=30°

∴BE=2DE

BC=BE+CE=BE+DE=3DE

（2）过点E作EF⊥AC于点F，

∵ED是AB的垂直平分线，且C、E、D共线

∴CD也是AB的垂直平分线

∴CA=CB

又∠ACB=90°

∴△ABC是等腰直角三角形.

∴∠ACD=45°

∴△CEF是等腰直角三角形.

∴EF=CF

∵AE平分∠CAB，且EF⊥AC，ED⊥AB

∴EF=ED

∴ED=FC

在Rt△ADE和Rt△AFE中

EF=ED，AE=AE，

△ADE≌△AFE（HL）

∴AD=AF

∴BC=AC=AF+FC=AD+DE.