【题目】如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=30度.
(1)求∠APB的度数;
(2)当OA=3时,求AP的长.
【答案】
(1)解:方法一:
∵在△ABO中,OA=OB,∠OAB=30°,
∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,
∴在四边形OAPB中,
∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°.
方法二:
∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB,OA⊥PA;
∵∠OAB=30°,OA⊥PA,
∴∠BAP=90°﹣30°=60°,
∴△ABP是等边三角形,
∴∠APB=60°
(2)解:方法一:如图①,连接OP;
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PO平分∠APB,即∠APO= ∠APB=30°,
又∵在Rt△OAP中,OA=3,∠APO=30°,
∴AP= =3
.
方法二:如图②,作OD⊥AB交AB于点D;
∵在△OAB中,OA=OB,
∴AD= AB;
∵在Rt△AOD中,OA=3,∠OAD=30°,
∴AD=OAcos30°= ,
∴AP=AB=3 .
【解析】(1)方法1,根据四边形的内角和为360°,根据切线的性质可知:∠OAP=∠OBP=90°,求出∠AOB的度数,可将∠APB的度数求出;方法2,证明△ABP为等边三角形,从而可将∠APB的度数求出;(2)方法1,作辅助线,连接OP,在Rt△OAP中,利用三角函数,可将AP的长求出;方法2,作辅助线,过点O作OD⊥AB于点D,在Rt△OAD中,将AD的长求出,从而将AB的长求出,也即AP的长.
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【题目】用适当的方法解下列方程:
(1)2x2﹣8x=0.
(2)x2﹣3x﹣4=0.
求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标.
(3)y= x2﹣x+3(公式法).
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【题目】东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?
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【题目】为了迎接运动会,某校八年级学生开展了“短跑比赛”。甲、乙两人同时从A地出发,沿同一条道路去B地,途中都使用两种不同的速度与
。
甲前一半的路程使用速度,另一半的路程使用速度
;乙前一半的时间用速度
,另一半的时间用速度
。
(1)甲、乙二人从A地到达B地的平均速度分别为;则
___________,
____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B地?为什么?
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【题目】在四边形ABDE中,C是BD边的中点.
(1)如图(1),若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ;(直接写出答案)
(2)如图(2),AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°,则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;
(3)如图(3),BD=8,AB=2,DE=8,若ACE=135°,则线段AE长度的最大值是 (直接写出答案).
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D为AH上的一点,且DH=HC,连接BD并延长BD交AC于点E,连接EH.
(1)请补全图形;
(2)求证:△ABE是直角三角形;
(3)若BE=a,CE=b,求出S△CEH:S△BEH的值(用含有a,b的代数式表示)
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