Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点，且DH=HC，连接BD并延长BD交AC于点E，连接EH．

（1）请补全图形；

（2）求证：△ABE是直角三角形；

（3）若BE=a，CE=b，求出S△CEH：S△BEH的值（用含有a，b的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）；

【解析】

（1）根据题意直接补全图形；

（2）证明△BHD≌△AHC，根据全等三角形的性质，得到∠HBD=∠CAH，又∠HBD+∠BDH=90°，∠BDH=∠ADE，即可得到∠ADE+∠DAE=90°，根据三角形的内角和得到∠AED=90°，即可证明△ABE是直角三角形；

（3）作HM⊥BE于M，HN⊥AC于N．根据全等三角形的性质得到HM=HN，根据三角形的面积公式即可求出S△CEH：S△BEH的值.

（1）解：图形如图所示；

（2）证明：∵AH⊥BC，

∴∠BHD=∠AEH=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BAH=∠ABH=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC（SAS），

∴∠HBD=∠CAH，

∵∠HBD+∠BDH=90°，∠BDH=∠ADE，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠AED=90°，

∴△ABE是直角三角形．

（3）作HM⊥BE于M，HN⊥AC于N．

∵△BHD≌△AHC，

∴HM=HN（全等三角形对应边上的高相等），

∴