Question

【题目】在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　 ；（直接写出答案）

（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；

（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是　 　（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+BD，证明详见解析；（3）10+4（或写成10+）

【解析】

(1)在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；

(2)在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；

(3)作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．

（1）AE=AB+DE；

理由：在AE上取一点F，使AF=AB，

∵AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠FAC．

在△ACB和△ACF中，

，

∴△ACB≌△ACF（SAS），

∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，

∵C是BD边的中点，

∴BC=CD，

∴CF=CD，

∵∠ACE=90°，

∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠ECD，

在△CEF和△CED中，

，

∴△CEF≌△CED（SAS），

∴EF=ED，

∵AE=AF+EF，

∴AE=AB+DE；

故答案为：AE=AB+DE；

（2）猜想：AE=AB+DE+BD，

证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，

∵C是BD边的中点，

∴CB=CD=BD．

∵AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠FAC，

在△ACB和△ACF中，

，

∴△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF=CB，

∴∠BCA=∠FCA，

同理可证：CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE，

∵CB=CD，

∴CG=CF，

∵∠ACE=120°，

∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，

∴∠FCA+∠GCE=60°，

∴∠FCG=60°，

∴△FGC是等边三角形，

∴FG=FC=BD，

∵AE=AF+EG+FG，

∴AE=AB+DE+BD；

（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，

∵C是BD边的中点，

∴CB=CD=BD，

∵△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF=CB，

∴∠BCA=∠FCA，

同理可证：CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE，

∵CB=CD，

∴CG=CF，

∵∠ACE=135°，

∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，

∴∠FCA+∠GCE=45°，

∴∠FCG=90°，

∴△FGC是等腰直角三角形，

∴FC=BD，

∵BD=8，

∴FC=4，

∴FG=4，

∵AE=AF+FG+GE，

∴AE=AB+4+DE，

∵AB=2，DE=8，

∴AE≤AF+FG+EG=10+4，

∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．

故答案为：10+4．