【题目】在数学兴趣小组活动中，小明将边长为2的正方形
与边长为
的正方形
按如图1方式放置，
与
在同一条直线上，
与
在同一条直线上．
（1）请你猜想
与
之间的数量与位置关系，并加以证明；
（2）在图2中，若将正方形绕点
逆时针旋转，当点
恰好落在线段上时，求出的长；
（3）在图3中，若将正方形绕点继续逆时针旋转，且线段与线段相交于点
，写出
与
面积之和的最大值，并简要说明理由．
【答案】（1）
，
，其理由见解析；（2）
；（3）6
【解析】
（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，连接
交
于
，则
=°=，在Rt△AMD中，求出AO的长，即为DO的长，根据勾股定理求出GO的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．
（1）
证明：，，其理由是：
在正方形
和正方形
中，
有
，
，
，
∴
≌
，∴，
，
∵
，∴
延长
交
于
，则
，
∴.
（2）
解：在正方形和正方形中，
有，，，
∴
∴≌，∴
连接交于，则，
∴
，
，
∴
∴
（3）
与
面积之和的最大值为6，其理由是：
对于，
长一定，当到的长度最大时，的面积最大，由（1）（2）)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6.
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某校要求200名学生进行社会调查，每人必须完成3~6份报告，调查结束后随机抽查了20名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：3份；B：4份；C：5份；D：6份．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题：
（1）请将条形统计图2补充完整；
（2）写出这20名学生每天完成报告份数的众数_____份和中位数_____份；
（3）在求出20名学生每人完成报告份数的平均数时，小明是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是 
=
；
第二步：在该问题中，n=4，x1=3，x2=4，x3=5，x4=6；
第三步：=
=4.5（份）.
小明的分析对不对？如果对，请说明理由，如果不对，请求出正确结果；
（4）现从“D类”的学生中随机选出2人进行采访，若“D类”的学生中只有1名男生，则所选两位同学中有男同学的概率是多少？请用列表法或树状图的方法求解．
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【题目】某校八年级数学实践能力考试选择项目中，选择数据收集项目和数据分析项目的学生比较多。为了解学生数据收集和数据分析的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据：从选择数据收集和数据分析的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
数据收集 | 10 | 9.5 | 9.5 | 10 | 8 | 9 | 9.5 | 9 | 7 | 10 | 4 | 5.5 | 10 | 7.9 | 9.5 | 10 |
数据分析 | 9.5 | 9 | 8.5 | 8.5 | 10 | 9.5 | 10 | 8 | 6 | 9.5 | 10 | 9.5 | 9 | 8.5 | 9.5 | 6 |
整理，描述数据：按如下分数段整理，描述这两组样本数据：
|
|
|
| 10 | |
数据收集 | 1 | 1 | 3 | 6 | 5 |
数据分析 |
（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.）
分析数据：两组样本数据的平均数，中位数，众数如下表所示：
项目 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
数据收集 | 8.75 | 9.5 | 10 |
数据分析 | 8.81 | 9.25 | 9.5 |
得出结论：
（1）如果全校有480人选择数据收集项目，达到优秀的人数约为________人；
（2）初二年级的井航和凯舟看到上面数据后，井航说：数据分析项目整体水平较高.凯舟说：数据收集项目整体水平较高.你同意________的看法，理由为_______________________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
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【题目】甲、乙两站相距480千米，一辆快车从甲站出发，每小时行驶120千米，一辆慢车从乙站出发，每小时行驶80千米.
(1)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
(2)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距100千米？
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【题目】春节是我国的传统节日，为了调查学生对于各地春节民俗活动的了解程度，某校抽取一部分学生进行问卷调查，将调查结果按“A：非常了解、B：基本了解、C：了解较少、D：不太了解”四类分别进行统计，并绘制出下面两幅不完整的统计图.请根据两幅统计图的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了_______个学生；
（2）扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角度数为多少?；
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【题目】如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点．
（1）画出△ABC中AB边上的中线CD；
（2）画出△ABC向右平移3个单位长度后得到的△A1B1C1；
（3）图中AC与A1C1的关系是 ；
（4）在图中，能使S△ABQ＝S△ABC的格点Q共有 个，分别用Q1、Q2、…表示出来．
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【题目】如图1， 在
中，
，
.点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C.设点D经过的路径长为
，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的 ( )
图1 图2
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】（12分）实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期三个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
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【题目】综合与实践
（问题情境）
在综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=5，点E，F分别为边AB，AD上的点，且DF=3。
（操作发现）
(1)沿CE折叠纸片，B点恰好与F点重合，求AE的长；
(2)如图2，延长EF交CD的延长线于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由。
（深入思考）
(3)把图2置于平面直角坐标系中，如图3，使D点与原点O重合，C点在x轴的负半轴上，将△CEM沿CE翻折，使点M落在点M′处.连接CM′，求点M′的坐标.
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