【题目】实验室里,水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为1∶2,用一个管子在甲、乙两个容器的15厘米高度处连通(即管子底端离容器底15厘米).已知只有乙容器中有水,水位高2厘米,如图所示.现同时向甲、乙两个容器注水,平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍.开始注水1分钟,甲容器的水位上升a厘米,且比乙容器的水位低1厘米.其中a,k均为正整数,当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时,停止注水.甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米,设注水时间为t分钟.
(1)求k的值(用含a的代数式表示).
(2)当甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米时,求t的值.
(3)当甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米时,求a,k,t的值.
【答案】(1)(或);
(2);
(3)
【解析】(1)根据“开始注水1分钟,甲容器的水位上升a厘米,且比乙容器的水位低1厘米”,即可得出a、k之间的关系式,变形后即可得出结论;
(2)根据两容器水位间的关系列出a、k、t的代数式,将(1)的结论代入其内整理后即可得出结论;
(3)由(1)中的k=4﹣结合a、k均为正整数即可得出a、k的值,经检验后可得出a、k值合适,再将乙容器内水位上升的高度转换成甲容器内水位上升的高度结合水位上升的总高度=单位时间水位上升的高度×注水时间即可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.
解:(1)由题意,得,∴(或)
(2)由题意,得,把代入,
得,化简,得.
(3)∵,a,k均为正整数,∴,或
又∵, ,∴,或符合题意.
①时, ,解得, .
∴.
②当时, ,解得, .
∴.
“点睛”本题考查了一元一次方程中的应用以及列代数式,根据两容器半径及注水量的关系列出代数式是解题的关键.
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【题目】黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果分为A,B,C,D四个等级,设学生时间为t(小时),A:t<1,B:1≤t<1.5,C:1.5≤t<2,D:t≥2,根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请你根据图中信息解答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生?并将条形统计图补充完整;
(2)本次抽样调查中,学习时间的中位数落在哪个等级内?
(3)表示B等级的扇形圆心角α的度数是多少?
(4)在此次问卷调查中,甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时,乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时,若从这5人中任选2人去参加座谈,试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
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【题目】如图, 在平面直角坐标系中,点A,B分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, , ,以AO,BO为邻边构造矩形AOBC,抛物线交轴于点D,P为顶点,PM⊥轴于点M.
(1)求, 的长(结果均用含的代数式表示).
(2)当时,求该抛物线的表达式.
(3)在点在整个运动过程中.
①若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值.
②当点A关于直线DP的对称点恰好落在抛物线的图象上时,请直接写出的值.
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【题目】如图,AD、BE分别是△ABC的中线,AD、BE相交于点F.
(1)△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系?为什么?
(2)△BDF与△AEF的面积有怎样的数量关系?为什么?
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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