Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点，且与轴交于，直线是抛物线的对称轴，过点的直线与直线相交于点，且点在第一象限．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若直线和直线、轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；

（3）点在抛物线的对称轴上，与直线和轴都相切，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△PBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标．

（1）抛物线的图象经过，，，

把，，代入得：

解得：，

抛物线解析式为；

（2）抛物线改写成顶点式为，

抛物线对称轴为直线，

∴对称轴与轴的交点C的坐标为

，

，

设点B的坐标为，，

则，

，

∴

∴点B的坐标为，

设直线解析式为：，

把，代入得：，

解得：，

直线解析式为：．

(3)①∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
设⊙P与AB相切于点F，与x轴相切于点C，如图1；

∴PF⊥AB，AF=AC，PF=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB==5，AF=3，
∴BF=2，
∵∠FBP=∠CBA，
∠BFP=∠BCA=90，
∴△ABC∽△PBF，

∴，

∴，

解得：，

∴点P的坐标为(2，)；

②设⊙P与AB相切于点F，与轴相切于点C，如图2：

∴PF⊥AB，PF=PC，
∵AC=3，BC=4， AB=5，

∵∠FBP=∠CBA，
∠BFP=∠BCA=90，
∴△ABC∽△PBF，

∴，

∴，

解得：，

∴点P的坐标为(2，-6)，

综上所述，与直线和都相切时，

或．