Question

【题目】如图，内接于且．延长至点，使．连接交于点．连接．

（1）求证：；

（2）填空：①当的度数为_____时，四边形是菱形：②若的长为

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①60°，②

【解析】

（1）由，可得∠ABC=∠ACB，由圆的内接四边形的性质及等量代换可得，根据AAS即可证明两个三角形全等；

（2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得AOCE，由OA＝OC可得结论；

②证明△AEF∽△DEC，然后依据相似三角形的性质列比例式求解即可．

解：（1）证明：，

，

四边形是圆内接四边形，

，

，

，

（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝180°-∠ABC=120°，

∠AOC=2∠ABC=120°，

∴∠AEC=∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°120°30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴AOCE是菱形；

②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝3，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，

∴，即

∴ED=

故答案为：①60°；②