Question

【题目】点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC为平行四边形，P为⊙O上异于A、B、C的一点，则∠APC=___．

Answer 1

【答案】60°或120°

【解析】

分两种情况讨论：①当点P在优弧AC上时，由平行四边形的对角相等可知：∠AOC＝∠B，然后根据圆内接四边形的对角互补可得：∠B＋∠APC＝180°，最后由圆周角定理和等量代换可得：∠APC＋2∠APC＝180°，解之即可得∠APC＝60°；②当点P在劣弧AC上时，根据①可知，∠B＝∠AOC＝2∠APC＝120°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知：∠APC＝∠ABC＝120°.

①当点P在优弧AC上时，

∵四边形ABCO是平行四边形

∴∠AOC＝∠B，

根据圆内接四边形的对角互补可知：∠B＋∠APC＝180°，

根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半可得：2∠APC＝∠AOC

∴∠APC＋2∠APC＝180°，

解得∠APC＝60°

②当点P在劣弧AC上时，

根据①可知，∠B＝∠AOC＝120°，

根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知：

∠APC＝∠ABC＝120°，

综上所述，∠APC＝60°或120°，

故答案为：60°或120°．