Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点与轴交于、两点

（点在点的左侧），抛物线的顶点为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）用配方法求点的坐标；

（3）点是线段上的动点．

①过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求点的坐标；

②在①的条件下，点是坐标轴上的点，且点到和的距离相等，请直接写出线段的长；

③若点是射线上的动点，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③+.

【解析】

（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式；

（2）将抛物线解析式配方法，即可得出顶点坐标；

（3）①令y=0，即可得出点C坐标，根据点E在抛物线上设其坐标，利用PE=PC，列出等式，求解即可；

②首先设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，利用斜率判定点到和的距离相等，在顶角的角平分线上，进而即可得出EF是点E到坐标轴的距离；

③首先作D关于y轴的对称点D′，当A与Q重合，D′、A、P在一条直线上时，取得最小值，即为D′P，然后求解即可.

（1）将点代入抛物线，得

将点代入抛物线，得

∴抛物线的解析式为：；

（2）由（1）得，

∴点的坐标为；

（3）①∵与轴交于、两点（点在点的左侧），

∴

∴或

∴点C的坐标为

∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为

∴

∵

∴

∴或或

∵点是线段上的动点，

∴

∴点E的坐标为；

②设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，如图所示：

根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为：

根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为：

∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，

∵点到和的距离相等，在顶角的角平分线上

∴EF是点E到坐标轴的距离

∴EF的长为或；

③作D关于y轴的对称点D′，当A与Q重合，D′、A、P在一条直线上时，取得最小值，即为D′P，如图所示：

∵，

∴OA=OP=2

∴AP=

∵D

∴DA=

由对称性，得D′A=DA=

∴D′P=D′A+AP=+

即的最小值为+.