Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|2x+1|，． 由f（x）≥5得x﹣2|+|2x+1|≥5．
当x≥2时，不等式等价于x﹣2+2x+1≥5，解得x≥2，所以x≥2；
当﹣ ＜x＜2时，不等式等价于2﹣x+2x+1≥5，即x≥2，所以此时不等式无解；当x≤﹣ 时，不等式等价于2﹣x﹣2x﹣1≥5，解得x≤﹣ ，所以x≤﹣ 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞）．
（Ⅱ）f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣（2x﹣4）|=|a+4|
因为原命题等价于（f（x）+|x﹣2|）min＜3，
所以|a+4|＜3，所以﹣7＜a＜﹣1为所求实数a的取值范围
【解析】（Ⅰ）当a=1时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式f（x）≥5； （Ⅱ）求出f（x）+|x﹣2|的最小值，根据不等式的关系转化为（f（x）+|x﹣2|）min＜3即可求a的取值范围．