Question

14．如图，直线y=3x-6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y=x²+bx+c过点A、B两点，该抛物线与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在线段AB上，当AP：BP=1：2时，求点P的坐标；
（3）设点M在抛物线上，点N在y轴上，已A、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令直线y=3x-6中，x和y分别为0可求得对应的y和x的值，故此可得到点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程，从而可求得b，c的值，故此可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥AC，垂足为D，依据平行线的分线段成比例定理可求得OD的长，从而得到点P的横坐标，然后将点P的横坐标代入直线AB的解析式，可求得点P的纵坐标；
（3）令y=0得：x²+x-6=0，可求得点C的坐标，从而得到AC=5．①当AC为平行四边形的边长时，则MN=AC=5．可得到点M的横纵坐标，然后将点M的横坐标代入抛物线的解析式可得到点M的纵坐标；②当AC为平行四边形的对角线时．设点M的横坐标为x．依据中点坐标公式可求得x=-1，将x=-1代入抛物线的解析式得：y=-6．故此可求得此时点M的坐标．

解答 解：（1）令直线y=3x-6中，x=0，则y=-6，
∴B（0，-6）．
令直线y=3x-6中，y=0，解得x=2，
∴A（2，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：c=-6，b=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+x-6．

（2）如图1所示：过点P作PD⊥AC，垂足为D．

∵PD∥OB，AP：BP=1：2，
∴AD：OD=1：2．
又∵AO=2．
∴OD=$\frac{4}{3}$．
将x=$\frac{4}{3}$代入y=3x-6得：y=-2．
∴点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，-2）．

（3）令y=0得：x²+x-6=0，解得：x=-3或x=2，
∴C（-3，0）．
∴AC=5．
①当AC为平行四边形的边长时，则MN=AC=5．
又∵点N在y轴上，
∴M的横坐标为±5．
当M的横坐标为5时，y=5²+5-6=24，
∴M的坐标为（5，24）．
当M的横坐标为-5时，y=（-5）²-5-6=14，
∴M的坐标为（-5，14）．
②当AC为平行四边形的对角线时．设点M的横坐标为x．
依据中点坐标公式可知$\frac{x+0}{2}$=$\frac{-3+2}{2}$，解得x=-1，
将x=-1代入抛物线的解析式得：y=-6．
∴M的坐标为（-1，-6）．
综上所述，点M的坐标为（-1，-6）或（5，24）或（-5，14）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．