Question

【题目】折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：

（综合与实践）

操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；

操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；

操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；

（问题解决）

请在图3中解决下列问题：

（1）求证：BP＝D′P；

（2）AP：BP＝　 　；

（拓展探究）

（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析

【解析】

（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；

（2）设BP＝x，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；

（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

（1）证明：如图1，连接PC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴∠MD′C＝∠D＝90°，

∴∠CD′P＝∠B＝90°，

在Rt△CD′P和Rt△CBP中，

，

∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），

∴BP＝D′P；

（2）解：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D′M＝．

设BP＝x，则MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，

在Rt△AMP中，根据勾股定理得AM2+AP2＝MP2．

∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，

解得x＝，

∴BP＝，AP＝，

∴AP：BP＝2：1，

故答案为：2：1．

（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点．

理由：如图2，连接QM．

∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，

∴∠QD′M＝∠A＝90°．

在Rt△AQM和Rt△D′QM中，

，

∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），

∴AQ＝D′Q，

设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，

则QP＝AP﹣AQ＝﹣y．

在Rt△QPD′中，根据勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．

∵D′P＝BP＝，

∴y2+（）2＝（﹣y）2，

解得y＝．

∴AQ：AB＝1：4，即点Q是AB边的四等分点，

∵EF∥AB，

∴，即，

解得AE＝．

∴点E为AD的五等分点．