Question

若a为正整数，则a⁴-3a²+9是合数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：运用拆项法将a⁴-3a²+9分解成（a²+3+3a）（a²+3-3a），由a是正整数可得a²+3+3a与a²+3-3a都是正整数，然后运用合数的等价条件（若一个数等于两个大于1 的整数之积，则这个数是合数）可得a²+3+3a≠1且a²+3-3a≠1，解这两个不等式就可解决问题．

解答：解：a⁴-3a²+9=a⁴+6a²+9-9a²
=（a²+3）²-（3a）²
=（a²+3+3a）（a²+3-3a）．
∵a为正整数，
∴a²+3+3a与a²+3-3a都是正整数．
∵a⁴-3a²+9是合数，
∴a²+3+3a与a²+3-3a都是大于1的正整数，
∴a²+3+3a≠1且a²+3-3a≠1，
∴a²+3a+2≠0且a²-3a+2≠0，
∴（a+1）（a+2）≠0且（a-1）（a-2）≠0，
∴a≠-1且a≠-2且a≠1且a≠2，
∴a的取值范围是大于2的正整数．

点评：本题考查了合数、因式分解等知识，运用因式分解及合数的等价条件（若一个数等于两个大于1 的整数之积，则这个数是合数）是解决本题的关键．