Question

【题目】定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P的“等边对称点”；

（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标．

（2）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时，

①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．

②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标yc的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（3，）；（2）①是，y＝﹣（x＞0）；②yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2

【解析】

（1）P（1，）则P'（﹣1，﹣），可求PP'＝4；设C（m，n），有PC＝P'C＝4，通过解方程可得m＝﹣n，再进行运算即可；

（2）①设P（c，）则P'（﹣c，﹣），可求PP'＝2 ；设C（s，t），有PC＝P'C＝2，通过解方程可得s＝﹣，t＝c，令 ，消元c即可得xy＝﹣6；

②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），yc≤﹣6；

当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），G与A重合时，C（2，﹣3），此时﹣3＜yc≤﹣2．

解：（1）∵P（1，），

∴P'（﹣1，﹣），

∴PP'＝4，

设C（m，n），

∴等边△PP′C，

∴PC＝P'C＝4，

∴ ，

∴m＝﹣n，

∴（﹣n﹣1）2+（n﹣）2＝16．

解得n＝或﹣，

∴m＝﹣3或m＝3．

如图1，观察点C位于第四象限，则C（﹣3，）．即点P的“等边对称点”的坐标是（3，）．

（2）①设P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'＝2，

设C（s，t），

PC＝P'C＝2，

∴，

∴s＝﹣，

∴t2＝3c2，

∴t＝c，

∴C（﹣，c）或C（，﹣c），

∴点C在第四象限，c＞0，

∴C（，﹣c），

令，

∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）；

②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），

∴yc≤﹣6；

当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），

G与A重合时，C（2，﹣3），

此时﹣3＜yc≤﹣2，

综上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2．