【题目】如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图,图中OP为下水管道口直径,OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开,可排出城市污水;当河水上涨时,阀门会因河水压迫而关闭,以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB=OP=100cm,OA为检修时阀门开启的位置,且OA=OB.
(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围;
(2)为了观测水位,当下水道的水冲开阀门到达OB位置时,在点A处测得俯角∠CAB=67.5°,若此时点B恰好与下水道的水平面齐平,求此时下水道内水的深度.(结果保留小数点后一位)
(=1.41,sin67.5°=0.92,cos67.5°=0.38,tan67.5°=2.41,sin22.5°=0.38,cos22.5°=0.92,tan22.5°=0.41)
【答案】(1)0°≤∠POB≤90°;(2)此时下水道内水的深度约为29.5cm.
【解析】
(1)根据题意即可得到结论;
(2)根据余角的定义得到∠BAO=22.5°,根据等腰三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=22.5°,由三角形的外角的性质得到∠BOP=45°,解直角三角形即可得到结论.
(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为:0°≤∠POB≤90°;
(2)如图,
∵∠CAB=67.5°,
∴∠BAO=22.5°,
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO=22.5°,
∴∠BOP=45°,
∵OB=100,
∴OE=OB=50,
∴PE=OP﹣OE=100﹣50≈29.5cm,
答:此时下水道内水的深度约为29.5cm.
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【题目】如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图,已知底座BC=0.6米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.5米,篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.4米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮筐D到地面的距离.(精确到0.1米,参考数据:cos75°≈0.3,sin75°≈0.9,tan75°≈3.7,≈1.7,≈1.4)
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
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【题目】为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为元/个的粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价元时,每天能出售个,并且售价每上涨元,其销售量将减少个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子的售价不能超过进价的.
(1)请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为元.
(2)定价为多少时每天的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
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【题目】运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系,t与h的几组对应值如下表所示.
t(s) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h(m) | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围);
(2)求小球飞行3s时的高度;
(3)问:小球的飞行高度能否达到22m?请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A坐标(2,3),过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,AH交反比例函数在第一象限的图象于点B,且满足=2.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)点C在x正半轴上,点D在该反比例函数的图象上,且四边形ABCD是平行四边形,求点D坐标.
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【题目】定义:点P(a,b)关于原点的对称点为P',以PP'为边作等边△PP'C,则称点C为P的“等边对称点”;
(1)若P(1,),求点P的“等边对称点”的坐标.
(2)若P点是双曲线y=(x>0)上一动点,当点P的“等边对称点”点C在第四象限时,
①如图(1),请问点C是否也会在某一函数图象上运动?如果是,请求出此函数的解析式;如果不是,请说明理由.
②如图(2),已知点A(1,2),B(2,1),点G是线段AB上的动点,点F在y轴上,若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时,求点C的纵坐标yc的取值范围.
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