Question

2．在平面直角坐标系xOy中，点A、点B、点C坐标分别为（5，0）、（10，0）、（0，-5）．
（1）求过B、C两点的一次函数解析式；
（2）若直线BC上有一动点P（m，n），以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；
（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线BC解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）由P的坐标，根据三角形OAP与三角形OCP面积相等找出m与n的关系式，代入直线BC解析式求出m与n的值，即可确定出P的坐标；
（3）如图所示，分四种情况考虑：当CQ₁=AQ₁=5时，此时Q₁与原点O重合；当AC=AQ₂=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$时，求出此时OQ₂的长，确定出Q₂坐标；当AC=CQ₃=5$\sqrt{2}$时，OQ₃=OC+CQ₃=5+5$\sqrt{2}$，求出此时Q₃坐标；当AC=CQ₄=5$\sqrt{2}$时，求出此时Q₄坐标即可．

解答 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把B（10，0）和C（0，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x-5；
（2）∵P坐标为（m，n），且S_△OAP=S_△OCP，OA=OC=5，
∴$\frac{1}{2}$OA•|n|=$\frac{1}{2}$OC•|m|，即|n|=|m|，
∴m=±n，
当m=n时，代入y=$\frac{1}{2}$x-5得：m=$\frac{1}{2}$m-5，即m=-10，此时P（-10，-10）；
当m=-n时，代入y=$\frac{1}{2}$x-5得：-m=$\frac{1}{2}$m-5，即m=$\frac{10}{3}$，n=-$\frac{10}{3}$，此时P（$\frac{10}{3}$，-$\frac{10}{3}$）；
（3）如图所示，分四种情况考虑：

当CQ₁=AQ₁=5时，此时Q₁与原点O重合，即Q₁坐标为（0，0）；
当AC=AQ₂=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$时，此时OQ₂=5，即Q₂坐标为（0，5）；
当AC=CQ₃=5$\sqrt{2}$时，OQ₃=OC+CQ₃=5+5$\sqrt{2}$，此时Q₃坐标为（0，-5-5$\sqrt{2}$）；
当AC=CQ₄=5$\sqrt{2}$时，OQ₄=CQ₄-OC=5$\sqrt{2}$-5，此时Q₄坐标为（0，5$\sqrt{2}$-5），
综上，Q的坐标为（0，0）或（0，5）或（0，-5-5$\sqrt{2}$）或（0，5$\sqrt{2}$-5）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．