Question

17．根据下列条件求二次函数的表达式：
（1）二次函数图象经过（0，-2），（1，2），（-1，3）三点；
（2）二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x₁=-3，x₂=1，且与y轴交点为（0，-2）；
（3）二次函数图象的顶点坐标（-3，$\frac{1}{2}$），且图象过点（2，$\frac{11}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）设一般式设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，再把三个已知点的坐标代入得到方程组，然后解方程组即可；
（2）设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把（0，-2）代入求出a即可；
（3）设顶点式y=a（x+3）²+$\frac{1}{2}$，然后把（2，$\frac{11}{2}$）代入求出a即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{a+b+c=2}\\{a-b+c=3}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{9}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-2，
所以抛物线解析式为y=$\frac{9}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把（0，-2）代入得a•3•（-1）=-2，解得a=$\frac{2}{3}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-3）（x+1），即y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（3）设抛物线解析式为y=a（x+3）²+$\frac{1}{2}$，
把（2，$\frac{11}{2}$）代入得25a+$\frac{1}{2}$=$\frac{11}{2}$，解得a=$\frac{1}{5}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{5}$（x+3）²+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．