Question

17．二次函数y=x²+bx+c与直线y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b²-4c＞0；②3b+c+6=0；③当x²+bx+c＞1时，x＜1；④当x²+bx+c＞$\frac{9}{8x}$时，x＞$\frac{3}{2}$；⑤当1＜x＜3时，x²+（b-1）x+c＜0．
其中正确结论的编号是②⑤．

Answer 1

分析 ①根据图象与x轴的交点情况判断b²-4c的符号；
②根据图象经过（3，3），判断3b+c+6=0的正确性；
③根据图象可以判断③；
④根据过顶点（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）的反比例函数为y=$\frac{9}{8x}$，判断④；
⑤根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，列式判断⑤．

解答 解：∵函数y=x²+bx+c与x轴无交点，
∴b²-4ac＜0；
∴b²-4c＜0
故①不正确；
当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0
故②正确；
从图象可知当x²+bx+c＞1时，x＜1或x＞2
③不正确；
④过顶点（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）的反比例函数为y=$\frac{9}{8x}$，
由图象可知，当x²+bx+c＞$\frac{9}{8x}$时，x＞$\frac{3}{2}$或x＜0，
④错误．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x²+bx+c＜x，
∴x²+（b-1）x+c＜0．
故⑤正确．
故答案为：②⑤

点评 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．