Question

如图，反比例函数y=

k

x

（k＞0）与一次函数y=ax-2（a＞0）的图象都经过点A、B，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若a=2，△ABE的面积为9，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接OB，P为双曲线上一点，以OB、OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设A（x₁，

k

x1

），B（x₂，

k

x2

），根据题意可得AE=x₁-x₂，BE=

k

x1

-

k

x2

，EC=-x₂，ED=

k

x1

，然后求得

AE

BE

=

EC

ED

=-

x1x2

k

，即可求得．
（2）先求得直线与x轴、y轴的交点，然后根据AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，求得△ABE∽△MNO，根据相似三角形的性质得出

AE

BE

=

OM

ON

=

1

2

，根据三角形的面积结合交点和系数的关系即可求得．
（3）因为四边形OBPQ是平行四边形，所以OB=PQ，OP=BQ，而点B是定点，所以OB的长也是定长，所以要求平行四边形OBPQ周长的最小值就只需求OP的最小值，结合勾股定理求得P的坐标，进而求得Q的坐标．

解答：解：（1）设A（x₁，

k

x1

），B（x₂，

k

x2

），
根据题意AE=x₁-x₂，BE=

k

x1

-

k

x2

，EC=-x₂，ED=

k

x1

，
∵

AE

BE

=

x1-x2

k x1 - k x2

=-

x1x2

k

，

EC

ED

=

-x2

k x1

=-

x1x2

k

，
∴

AE

BE

=

EC

ED

，
∴

EC

AE

=

ED

BE

，
∴AB∥CD；
（2）∵a=2，
∴一次函数为y=2x-2，
∴直线y=2x-2交x轴M的坐标为（1，0），交y轴N的坐标为（0，-2），
∴OM=1，ON=2，
∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D．
∴AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，
∴△ABE∽△MNO，
∴

AE

BE

=

OM

ON

=

1

2

，
∴BE=2AE，
∵AE=x₁-x₂，
∴BE=2（x₁-x₂），
由

y= k x y=2x-2

得，x²-x-

k

2

=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-

k

2

，
∵S_ABE=

1

2

AE•BE=

1

2

（x₁-x₂）•2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1-4×（-

k

2

）=1+2k=9，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=

4

x

；
（3）由

y= 4 x y=2x-2

可知B的坐标为（-1，-4），
因为四边形OBPQ是平行四边形，所以OB=PQ，OP=BQ，
而点B是定点，所以OB的长也是定长，
所以要求平行四边形OBPQ周长的最小值就只需求OP的最小值，
因为点P在双曲线上，所以可设点P的坐标为（n，

4

n

），
由勾股定理可得OP²=n²+

16

n2

=n²+

16

n2

-8+8=（n-

4

n

）²+8，
所以当（n-

4

n

）²=0即n-

4

n

=0时，OP²有最小值，OP有最小值，
解得，n=±2，
∴P（2，2）或（-2，-2），
∴Q（1，-2）或（-3，-6）；

点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法．