Question

如图，已知AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）问题探究：线段OB，OC有何数量关系，并说明理由；
（2）问题拓展：分别连接OA，BC，试判断直线OA，BC的位置关系，并说明理由；
（3）问题延伸：将题目条件中的“CD⊥AB于D，BE⊥AC于E”换成“D、E分别为AB，AC边上的中点”，（1）（2）中的结论还成立吗？请直接写出结论，不必说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据垂直定义求出∠ADC=∠AEB=90°，根据AAS推出△ADC≌△AEB，根据全等得出AD=AE，∠B=∠C，求出BD=CE，根据AAS推出△BDO≌△CEO即可；
（2）延长AO交BC于M，根据SAS推出△OBA≌△OCA，根据全等得出∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形的性质推出即可；
（3）求出AD=AE，BD=CE，根据SAS推出△ADC≌△AEB，根据全等三角形的性质得出∠DBO=∠ECO，根据AAS推出△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质得出OB=OC，根据SAS推出△OBA≌△OCA，推出∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC和△AEB中，

∠ADC=∠AEB ∠A=∠A AC=AB

，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD=AE，∠B=∠C，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△BDO和△CEO中，

∠BOD=∠COE ∠B=∠C BD=CE

，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OB=OC；

（2）AO⊥BC，
理由是：延长AO交BC于M，
在△OBA和△OCA中，

OB=OC ∠OBA=∠OCA AB=AC

，
∴△OBA≌△OCA（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC；

（3）（1）（2）中的结论还成立，
理由是：∵D、E分别为AB，AC边上的中点，AC=AB，
∴AD=AE，BD=CE，
在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠DBO=∠ECO，
在△BDO和△CEO中，

∠DOB=∠EOC ∠DBO=∠ECO BD=CE

，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OB=OC，
在△OBA和△OCA中，

OB=OC ∠OBA=∠OCA AB=AC

，
∴△OBA≌△OCA（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACD≌△BCE和△CME≌△CND，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．