Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴ ，

解得 ，

∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）解：∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有 ，

解得 ，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S△APE= PEyP= （﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣ =﹣ 时，S取最大值 ．

（3）解：如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣ ，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E= ，

∵PF∥y轴，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，

∵（3﹣m）2+（ ）2=m2，

∴m= ．

∵S△P′EN= P′NP′E= ENP′M，

∴P′M= ．

在Rt△EMP′中，

∵EM= = ，

∴OM=EO﹣EM= ，

∴P′（ ， ）．

当x= 时，y=﹣（ ）2﹣2 +3= ≠ ，

∴点P′不在该抛物线上．

【解析】（1）利用待定系数法把A、B、C三点坐标代入解析式，求出a、b、c即可；（2）由于P在AD上运动，须求出AD的解析式，设出P的横坐标为x,用x的代数式分别表示P的纵坐标、PE长，代入三角形面积公式，构建函数，用配方法求出最值；（3）利用折叠的性质得出对应边相等，设EN=m,用m的代数式分别表示P' 坐标，将横坐标代入解析式，所求出的结果是否等于P'的纵坐标可判断出.