Question

【题目】在菱形ABCD中，AB=2 ，AC是对角线，∠B=60°，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠EAF=60°，AE与DC的延长线交于点M，AF与BC的延长线交于点N．

（1）如图1，若点E为BC边上的中点．
①求证：△ACM≌△ACN；
（2）如图2，若点E为BC边上的任意点（不与点B，C重合），请说明CMNC是一个定值．

Answer 1

【答案】
（1）证明，∵AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60°，点E为BC边上的中点，

∴∠MAC=∠NAC=30°，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠ACM=∠ACN=120°．

在△ACM与△ACN中，

，

∴△ACM≌△ACN（ASA）

②CMNC的值是 ．

12

（2）证明：∵∠EAF=60°，即∠MAC+∠NAC=60°．

又∠ACD=60°，

∴∠MAC+∠AMC=60°，

∴∠AMC=∠NAC．

又∠ACM=∠ACN=120°，

∴△ACM∽△NCA，

∴ = ，

由题意可知，△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2 ，

∴CMNC=AC2=（2 ）2=12，即CMNC是一个定值．

【解析】（1）②解：∵∠MAC=30°，∠ACM=120°，

∴∠AMC=30°，

∴CM=CA=2 ，

∵△ACM≌△ACN，

∴CM=CN，

∴CMNC=CM2=12．

故答案是：12；

【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．