Question

【题目】[感知]

如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是　 　度；

[探究]

如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；

[应用]

在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）4

【解析】

[感知]由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．

[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．

[应用]先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．

[感知]如图1．

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°．

故答案为：90．

[探究]∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．

在△BDE和△CFD中，∵，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD．

[应用]∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2．

∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF．

∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4．

故答案为：4．